Ordem de Grandeza e Estimativas

Posted on Mar 18, 2015 por Sérgio Lima in Introdução a Física

Introdução

Uma das atividades mais corriqueiras quando se faz boa ciência é elaborar hipóteses para que possam ser testadas e, eventualmente, transformadas em modelos científicos (portanto históricos e provisórios).... Eventualmente na etapa de elaboração de hipóteses pode ser conveniente se fazer estimativas de valores ou grandezas. Uma boa ferramenta para se fazer tais estimativas é se trabalhar com a ordem de grandeza de uma medida.

Ordem de Grandeza de uma Medida

Dada uma certa medida, representada em notação científica, a sua ordem de grandeza será sua potência de 10 obedecendo a seguinte regra:

  • Se a mantissa for menor que 3,16 (101/2) a ordem de grandeza será a potência de 10 do número representado em notação científica. Ex; 2,34 x 105 tem Ordem de Grandeza 105.
  • Se a mantissa for maior que 3,16 (101/2) a ordem de grandeza será a próxima potência de 10 do número representado em notação científica. Ex; 4,24 x 105 tem Ordem de Grandeza 106.

Finalmente para que um número esteja em notação científica ele deve ser escrito na seguinte forma:
p x 10n onde 1 ≤ p < 10 e n ∈ Z (conjunto dos números inteiros).

Exemplos de números escritos em notação científica:
2,4 x 1056; 1,65 x 10-6; 9,890 x 1030

Exemplos de números que não estão escritos em notação científica:
0,4 x 1056; 11,65 x 10-6; 9,890 x 102/3

Você saberia dizer porque os três exemplos acima não estão em notação científica?

Fazendo Estimativas

Então, para se fazer estimativas devemos "calcular" o valor que desejamos estimar (usando conhecimentos básicos de matemática ou ciências) escrever o resultado em notação científica e, finalmente estimar a ordem de grandeza.

Os próprios calculos intermediários podem ser feitos em notação científica para facilitar (e simplificar) a estimativa.

Um estudo de caso

Recentemente setores reacionários da sociedade brasileira fizeram manifestações em várias capitais contra o Governo Dilma e, supostamente, contra a corrupção... Em São Paulo, os "manifestantes" ocuparam a Av. Paulista. Alguns veículos de imprensa, como os do sistema Globo (que apoiaram a ditadura militar) "estimaram" que 1 milhão de pessoas estiveram na Av. Paulista. Como exercício de cálculo de estimativa, usando método, veremos como é impossível se colocar 1 milhão de pessoas na Av. Paulista, ou seja, só mais uma das muitas mentiras de nossa mídia golpista!

Quantas pessoas cabem na Av. Paulista?

A Av. Paulista tem extensão de 2,6 Km = 2,6 x 103 m. A largura da mesma é de 30 m = 3,0 x 101 m (excluindo-se o canteiro central) O que dá uma área de 7,8 x 104 m².

Podemos, novamente superestimando, considerar que toda a Av. Paulista estivesse uniformemente povoada com densidade de 5 manifestantes por m² .

Assim, o total de pessoas presentes na Av. Paulista seria de:
7,8 x 104 x 5 x 100 = 3,9 x 105 pessoas = 390 000 pessoas (já estimando pra cima). A ordem de grandeza estaria correta = 106!

Pra se ter uma ideia do exagero da PM de São Paulo e da mídia golpista, Se tivessem 1 milhão de pessoas elas deveriam estar espremidas na seguinte taxa: 12 pessoas por metro quadrado! (1.000.000/78.000 m²).

OBS:O Institudo DataFolha estimou em 210 000 pessoas! Eles usaram um modelo mais realista! Ao invés de considerar que a densidade de pessoas era constante (como fizemos por simplicidade) eles "mediram" esta densidade de tempos em tempos! E, como era de se esperar, não existiam 5 pessoas por m² em toda extensão da Av. Paulista. Nos extremos a densidade era bem menor!

Quer continuar a brincadeira?

  • 1. Estime o número de paralelepípedos em uma quadra de rua ou de tijolos em uma parede de tijolos à vista.
  • 2. Estime o número de batidas que dá o coração de uma pessoa durante o seu tempo de vida.
  • 3. Estime o número de cabelos existentes numa cabeça.
  • 4. Estime o número de grãos de areia existentes em um vidro.
  • 5. Em uma forte chuva de verão ocorrida em Porto Alegre no dia 28/01/72 a precipitação foi de 36mm em 20 minutos:
    a) Estime o volume de água que caiu sobre 1 hectare.
    b) Estime o número de gotas de água que caiu sobre o mesmo hectare.

As questões acima foram retirada do excelente artigo: Como estimar dimensões e grandezas físicas: pequenos e grandes números de Rogério P. Livi

Mais sobre cálculo de aglomerações também podem ser vistos aqui

Juros Simples

Posted on Oct 11, 2013 by Sérgio Lima in Mat. Financeira

Definições

Juros

Resumidamente, juros podem ser considerados como o valor pago pelo aluguél do dinheiro. Isto é, numa operação financeira o custo por se usar uma certa quantia de dinheiro por um certo período de tempo é chamado de JUROS.

Tipos de Juros (Formas de Capitalização)

Os juros podem ser capitalizados na forma de juros simples ou de juros compostos. Os Juros são Simples quando são calculados somente em função do Capital Inicial (valor principal). Se os juros forem calculados com base no capital inicial acrescidos dos juros do período anterior, temos o regime de Juros Compostos.

Ao contrário do que muita gente boa diz na internet, os Juros Simples são utilizados no nosso sistema bancário (e provavelmente de todo o mundo!). Por uma questão bem simples: Para períodos inferiores a uma unidade de tempo (0 < t < 1) os juros simples são maiores que os juros compostos!. Vide gráfico abaixo:

juros simples x juros composto
Comparação de Juros Simples e Compostos

Cálculo dos Juros Simples

Sendo:

  • J = Juros Simples
  • i = taxa de juros (na forma decimal)
  • t = período de tempo da operação (na mesma unidade da taxa de juros)
  • C = Capital Inicial (Valor Principal) da operação

Os juros simples são calculados pela expressão:

$$J = C.i.t$$

Exemplo: Qual o valor dos juros simples numa aplicação de R$450,00 com taxa de 7% ao mês durante o período de 2 meses?

  • C = R$450,00
  • i = 0,07 (7/100 = 7%)
  • t = 2
  • J = 450 x 0,07 x 2 = R$63,00

Cálculo do Montante Final

Sendo:

  • M = Montante Final
  • J = Juros Simples
  • C = Capital Inicial (Valor Principal) da operação

O montante (M) da operação será calculado por uma das 3 expressões abaixo:

$$M = C + J \rightarrow M = C + C.i.J \rightarrow M = C.(1+i.t)$$

Exemplo: Qual o montante final após os juros do exemplo anterior??

  • J = R$63,00
  • C = R$450,00
  • M = R$450 + R$63 = R$513,00

Cálculo de Juros Simples na HP 12c

Na HP12c toda taxa de juros que você entra (tecla i) para o cálculo de juros simples é sempre anual e na forma percentual! Isso significa que, no exemplo anterior, 7% ao mês corresponderá a 84% ao ano (7 x 12). Isso mesmo, as taxas de juros simples equivalentes são proporcionais!

E todo período de tempo ( tecla n) - para o cálculo de juros simples na HP12c - é sempre em dias. A convenção adota o ano comercial com 360 dias e o ano civil com 365 dias. Assim os dois meses do exemplo anterior deverão ser expressos como 60 dias!

O capital inicial (principal) deve ser guardado como um valor negativo (retirada do dinheiro no fluxo de caixa), isto é, no exemplo anterior: 450 + CHS + PV.

O valor dos juros simples é dado pelas teclas: f + INT

Juntando tudo, o exemplo anterior fica assim na HP12c:

TECLAS VISOR DA HP12 DESCRIÇÃO
450 + CHS + PV -450 Armazena o Principal
60 + n 60 armazena o tempo
84 + i 84 Armazena a taxa nominal de juros
f + INT 63 Calcula o valor dos juros simples p/ o período
+ 513 Calcula o montante da operação



Caso você queira considerar o ano de 365 dias, basta usar as seguintes teclas no cálculo de juros:

Teclas na HP12C p/ Juros Simples ano de 365 dias

A saída para os dados anteriores após essa sequência de teclas seria: 62,14 que é o juros simples quando você considera o ano de 365 dias!

Juros simples e sistema bancário

No sistema bancário brasileiro os juros simples são usados no cheque especial para períodos inferiores a um mês (quando o contrato é com taxas de juros mensais) e em notas promissórias que usam o sistema de desconto simples.

Medida de Tendência Central

Posted on Sep 27, 2013 by Sérgio Lima in Estatística

Média Aritmética

Para um conjunto de N dados

Dado um conjunto de N dados (X1, X2, ..., XN) sua média aritmética será dada por:
$$\overline{X} = \frac{\sum_{n=1}^{N} X_i}{N} = \frac{ X_{1} + X_{2} + ...+ X_{N}}{N}$$

Para um conjunto de N dados agrupados, alguns repetidos "f" vezes

Se no conjunto de N dados os números (X1, X2, ..., Xk) ocorrerem f1, f2, fk vezes, respectivamente, a média será dada por:
$$\overline{X} = \frac{ X_{1}.f_{1} + X_{2}.f_{2} + ... + X_{k}.f_{k}}{N}$$

OBS: Se os dados estiverem agrupados com intervalos de classe (classe contendo valores de N1 até N2 usa-se como Xi o valor médio da classe.

Exemplos

A = {3,4,5,6,7,8}

$$\overline{X} = \frac{ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8}{6} = 5,5$$

B = {3, 3, 4, 4 ,4, 5, 5, 5, 5}

$$\overline{X} = \frac{ 3.2 + 4.3 + 5.4}{9} = 4,22$$

Propriedades da Média (Aritmética)

Propriedade 1

A soma algébrica dos desvios em relação a média é sempre zero!
$$d_{i} = \sum (X_{i} - \overline{X}) = 0 $$

Propriedade 2

Se somarmos ou diminuírmos uma constante a cada termo da série, a média aritmética fica somada ou diminuída desta mesma constante.

$$X_{i} \pm K$$ então $$\overline{X} = \overline{X} \pm K$$

Propriedade 2

Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante por cada termo da série, a média aritmética fica multiplicada ou dividída por esta mesma constante.

$$]X_{i} \times K$$ ou $$X_{i} \div K$$ então $$\overline{X} = \overline{X} \times K$$ ou $$\overline{X} = \overline{X} \div K$$

Exemplos

A = {3, 4, 5}
$$\overline{X} = 4$$
B = {9, 12, 15} = {3x3, 4x3, 5x3}
$$\overline{X} = 4 \times 3 = 12$$
C = {6, 7, 8} = {3+3, 4+3, 5+3}
$$\overline{X} = 4+3 = 7$$

OBS: = Estas 2 últimas propriedades valem para a Mediana> e Moda de um conjunto de dados.

Q7-2011-Física

Posted on Jan 24, 2013 por Sérgio Lima in UERJ, Discursiva

Questão:

Considere as seguintes informações do Modelo Padrão da Física de Partículas:
  • prótons e nêutrons são constituídos por três quarks dos tipos u e d;
  • o quark u tem carga elétrica positiva igual a 2/3 do módulo da carga do elétron;
  • um próton p é constituído por dois quarks u e um quark d, ou seja, p = uud.
Determine o número de quarks u e o número de quarks d que constituem um nêutron n.

Resolução

Proton tem carga +e, assim: e = 2u + d => e = +(4/3)e + x => x = -(1/3)e que é a carga de d! Neutron é neutro, assim a soma das cargas de suas partículas deve ser zero! 0 = (-1/3 - 1/3 + 2/3)e o que implica 2 quarks tipo d e 1 quark tipo u N = ddu Comentário:Questão de matemática com informações de física! Na verdade o candidato só precisava saber a carga elétrica do próton e do neutron. Fácil!

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