Notas de Aulas

Introdução

Uma das atividades mais corriqueiras quando se faz boa ciência é elaborar hipóteses para que possam ser testadas e, eventualmente, transformadas em modelos científicos (portanto históricos e provisórios).... Eventualmente na etapa de elaboração de hipóteses pode ser conveniente se fazer estimativas de valores ou grandezas. Uma boa ferramenta para se fazer tais estimativas é se trabalhar com a ordem de grandeza de uma medida.

Ordem de Grandeza de uma Medida

Dada uma certa medida, representada em notação científica, a sua ordem de grandeza será sua potência de 10 obedecendo a seguinte regra:

• Se a mantissa for menor que 3,16 (10^1/2) a ordem de grandeza será a potência de 10 do número representado em notação científica. Ex; 2,34 x 10⁵ tem Ordem de Grandeza 10⁵.
• Se a mantissa for maior que 3,16 (10^1/2) a ordem de grandeza será a próxima potência de 10 do número representado em notação científica. Ex; 4,24 x 10⁵ tem Ordem de Grandeza 10⁶.

Finalmente para que um número esteja em notação científica ele deve ser escrito na seguinte forma:
p x 10ⁿ onde 1 ≤ p < 10 e n ∈ Z (conjunto dos números inteiros).

Exemplos de números escritos em notação científica:
2,4 x 10⁵⁶; 1,65 x 10^-6; 9,890 x 10³⁰

Exemplos de números que não estão escritos em notação científica:
0,4 x 10⁵⁶; 11,65 x 10^-6; 9,890 x 10^2/3

Você saberia dizer porque os três exemplos acima não estão em notação científica?

Fazendo Estimativas

Então, para se fazer estimativas devemos "calcular" o valor que desejamos estimar (usando conhecimentos básicos de matemática ou ciências) escrever o resultado em notação científica e, finalmente estimar a ordem de grandeza.

Os próprios calculos intermediários podem ser feitos em notação científica para facilitar (e simplificar) a estimativa.

Um estudo de caso

Recentemente setores reacionários da sociedade brasileira fizeram manifestações em várias capitais contra o Governo Dilma e, supostamente, contra a corrupção... Em São Paulo, os "manifestantes" ocuparam a Av. Paulista. Alguns veículos de imprensa, como os do sistema Globo (que apoiaram a ditadura militar) "estimaram" que 1 milhão de pessoas estiveram na Av. Paulista. Como exercício de cálculo de estimativa, usando método, veremos como é impossível se colocar 1 milhão de pessoas na Av. Paulista, ou seja, só mais uma das muitas mentiras de nossa mídia golpista!

Quantas pessoas cabem na Av. Paulista?

A Av. Paulista tem extensão de 2,6 Km = 2,6 x 10³ m. A largura da mesma é de 30 m = 3,0 x 10¹ m (excluindo-se o canteiro central) O que dá uma área de 7,8 x 10⁴ m².

Podemos, novamente superestimando, considerar que toda a Av. Paulista estivesse uniformemente povoada com densidade de 5 manifestantes por m² .

Assim, o total de pessoas presentes na Av. Paulista seria de:
7,8 x 10⁴ x 5 x 10⁰ = 3,9 x 10⁵ pessoas = 390 000 pessoas (já estimando pra cima). A ordem de grandeza estaria correta = 10⁶!

Pra se ter uma ideia do exagero da PM de São Paulo e da mídia golpista, Se tivessem 1 milhão de pessoas elas deveriam estar espremidas na seguinte taxa: 12 pessoas por metro quadrado! (1.000.000/78.000 m²).

OBS:O Institudo DataFolha estimou em 210 000 pessoas! Eles usaram um modelo mais realista! Ao invés de considerar que a densidade de pessoas era constante (como fizemos por simplicidade) eles "mediram" esta densidade de tempos em tempos! E, como era de se esperar, não existiam 5 pessoas por m² em toda extensão da Av. Paulista. Nos extremos a densidade era bem menor!

Quer continuar a brincadeira?

• 1. Estime o número de paralelepípedos em uma quadra de rua ou de tijolos em uma parede de tijolos à vista.
• 2. Estime o número de batidas que dá o coração de uma pessoa durante o seu tempo de vida.
• 3. Estime o número de cabelos existentes numa cabeça.
• 4. Estime o número de grãos de areia existentes em um vidro.
• 5. Em uma forte chuva de verão ocorrida em Porto Alegre no dia 28/01/72 a precipitação foi de 36mm em 20 minutos:
  a) Estime o volume de água que caiu sobre 1 hectare.
  b) Estime o número de gotas de água que caiu sobre o mesmo hectare.

As questões acima foram retirada do excelente artigo: Como estimar dimensões e grandezas físicas: pequenos e grandes números de Rogério P. Livi

Mais sobre cálculo de aglomerações também podem ser vistos aqui

Vetores

Entidade matemática constituída de direção, módulo e sentido que é utilizada para representar grandezas vetoriais. Em termos bem práticos, um vetor é um segmento de reta orientado (uma setinha!), conforme figura 1. [caption id="" align="aligncenter" width="169" caption="Vetor"] Figura 1 - Um Vetor [/caption]

Soma de Vetores

A soma de vetores, como era de se esperar, é uma operação geométrica, uma vez que trata de operar com entidades geométricas. Embora possa ser tratado algebricamente (álgebra de vetores) mostraremos dois métodos geométricos para se determinar a soma de vetores.

Método Geométrico

Basicamente para se somar dois (ou mais) vetores por este método, basta desenhar um vetor parcela ao final do outro vetor parcela até que todos os vetores tenham sido utilizados. O vetor que liga o início do primeiro ao final do último vetor é o vetor resultante. [caption id="attachment_38" align="aligncenter" width="250" caption="Soma de Vetores pelo Método Geométrico"][/caption] Este método tem a vantagem de se poder somar qualquer quantidade de vetores. Entretanto não existe uma maneira geral de se determinar, algebricamente, o módulo do vetor resultante.

Método do Paralelogramo

Neste método, só é possível somar vetores não paralelos e de dois em dois! Coloca-se os dois vetores unidos pelas suas origens. Traça-se paralelas a cada vetor no final do outro vetor. Isto é, no final do vetor 1 se traça uma paralela ao vetor 2. No final do vetor 2 se traça uma paralela ao vetor 1. As paralelas junto com os vetores formam um paralelogramo. A diagonal deste paralelogramo, partindo da origem comum dos vetores, determina o vetor resultante. [caption id="attachment_40" align="aligncenter" width="275" caption="Soma de Vetores pelo método do Paralelogramo"][/caption]

Componentes de um Vetor

Com base no que vimos até aqui, é fácil perceber (fácil é só força de expressão!) que qualquer vetor pode ser representado como a soma de dois ou mais vetores. Em particular, um vetor qualquer pode ser pensado como a soma de um vetor horizontal com um vetor vertical (pode ser que um destes vetores tenha módulo zero!). Estes dois vetores são chamados de componentes cartesianas do vetor. [caption id="attachment_42" align="aligncenter" width="200" caption="componentes cartesianas de um vetor"][/caption] E a soma de dois ou mais vetores pode ser pensada como a soma de suas respectivas componentes. [caption id="attachment_43" align="aligncenter" width="265" caption="Soma das Componentes de um Vetor"][/caption] A soma das componentes dos vetores parcela é a ideia que está por trás da álgebra dos vetores. Mas isto fica para uma outro texto.

Treinando

Pra visualizar e treinar a soma de vetores aponte seu navegador para o endereço abaixo: http://www.fisica.ufpb.br/prolicen/Applets/Applets1/Vetores/SomaVet.html Nesta página há um simulador em java onde você pode criar e somar vetores, utilizando os dois métodos expostos acima. Abaixo outra simulação para você ver como funciona a soma de vetores (caso não apareça, clique aqui):

Grandezas Fundamentais

Embora a construção do conhecimento físico, se baseie em várias grandezas físicas (grandezas observáveis e mensuráveis), todas elas derivam de apenas 7 grandezas fundamentais:

Grandeza	Unidade	Símbolo
Comprimento	metro	m
Massa	quilograma	Kg
Tempo	segundo	s
Corrente Elétrica	ampère	A
Temperatura Termodinâmica	kelvin	K
Quantidade de Matéria	mol	mol
Intensidade Luminosa	candela	cd

Notação Científica

Notação utilizada para simplificar o tratamento e operacionalização de valores numérios muito grandes e muito pequenos. Um número expresso em notação científica contém uma mantissa e uma potência de 10, veja os exemplos abaixo:

• 100000 = 1,0 x 10⁵ (sem preocupação com Algarismos Significativos!)
• 0,00001 = 1,0 x 10^-5
• 345 = 3,45 x 10²
• 0,0000000024 = 2,4 x 10^-9

Como pode-se observar, um número em notação científica tem o seguinte formato: p,qqqq x 10^A Onde 0 < p < 10 e "A" é um número inteiro positivo ou negativo.

Ordem de Grandeza

É a potência de 10 que melhor representa um número escrito em notação científica. Na prática, se a mantissa é menor que 3,16 (10^0,5) a Ordem de Grandeza é a própria potência de 10. Se a mantissa é maior ou igual a 3,16, a Ordem de Grandeza e a potência de 10 com o expoente incrementado de 1!. Exemplos:

• 3,4 x 10⁵ - O.G = 10⁶
• 3,1 x 10⁵ - O.G = 10⁵
• 1,4 x 10^-5 - O.G = 10^-5
• 9,7 x 10^-5 - O.G = 10^-4

Exercícios

Abaixo uma lista de exercícios sobre ordem de grandeza. O objetivo é desenvolver a capacidade de se fazer estimativas razoáveis. Importante para elaboração de hipóteses e, mais importante, avaliar se o resultado encontrado em problemas de física são razoáveis!

• Lista de Exercício de Ordem de Grandeza em pdf
• Lista de Exercício de Ordem de Grandeza em ODT (OpenOffice/LibreOffice/BrOffice)

Grandeza Física

Medir é comparar grandezas de mesma natureza tomando-se uma delas como padrão.

Tipos de Grandeza Física:

As Grandezas Físicas podem, numa primeira abordagem, ser Escalares ou Vetoriais (Na verdade estes são dois casos particulares de Tensores).

Grandezas Escalares:

Grandezas que ficam bem definidas com uma (1) informação (módulo ou intensidade) mais a unidade. Ex. Tempo, Massa, Volume, etc Estas grandezas serão representadas por escalares (números)

Grandezas Vetoriais:

Grandezas que só ficam bem definidas com três (3) informações (módulo ou intensidade, Direção e Sentido) mais a unidade. Ex. Força, Campo Elétrico, Aceleração, etc. Estas grandezas serão representadas por vetores.

Figura mostrando um vetor