Matemática Financeira

Autor

Este texto é um fichamento pessoal feito pelo Prof. Sérgio F. Lima. Caso ele lhe seja útil, espalhe a palavra em suas redes sociais.

Introdução

Como dito no texto sobre juros simples, ele é utilizado, também, em situações financeiras reais:

• Juros de cheque especial quando o prazo é inferior a um (01) período de tempo;
• Desconto Bancários (Notas Promissórias, Duplicatas, letra de câmbio, etc);
• Série de pagamentos a juros simples.

A seguir veremos, rapidamente, cada uma das três aplicações acima.

Desconto Simples

Desconto simples bancário ou comercial ou por fora

Quando um título é descontado antes do prazo ele sofre um desconto sobre seu valor de face. Se este desconto for calculado usando juros simples e calculado sobre o valor nominal do documento, este desconto é chamado de DESCONTO COMERCIAL SIMPLES.

Considere:
d = Valor do desconto comercial;
N = Valor nominal do título;
A = Valor atual do título (valor após o desconto);
t = O tempo decorrido entre a data do documento e a data do desconto;
i = Taxa de juros (forma decimal).

Teremos:
d = N.i.t
A = N - d ou A = N - N.i.t ou A = N(1 - i.t)

Exemplo:

Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$20.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o valor do desconto comercial simples. Qual o valor atual, isto é, o valor recebido pela duplicata?
Temos:
N = 20.000
t = 2 meses
i = 0,3 a.a. = 0,025 a.m (0,3/12) - 2,5% a. m.
d = ?
A = ?

d = 20000 x 0,025 x 2 = 1000
A = N - d => 20000 - 1000 = 19.000

Logo o desconto será de R$1.000,00 e o valor recebido por esta duplicata 2 meses antes do vencimento será de R$19.000,00

Desafio: Mostre que a taxa efetiva de juros simples, nesta operação, isto é, a taxa de juros simples que transforma os R$19.000.00 em R$20.000,00 nos mesmos dois meses é de ~2,63% a. m. = ~ 31,58% a.a.

Desconto simples racional ou por dentro

Este tipo de desconto não é praticado comercialmente no Brasil. Entretanto ele é cobrado em concursos! No final desta seção veremos porque os bancos não usam esta modalidade de desconto simples!

Quando um título é descontado antes do prazo ele sofre um desconto no seu valor de face. Se este desconto for calculado usando juros simples e calculado sobre o valor atual do documento, este desconto é chamado de DESCONTO RACIONAL SIMPLES.

Considere:
d_R= Valor do desconto racional;
N = Valor nominal do título;
A_R = Valor atual racional do título (valor após o desconto);
t = O tempo decorrido entre a data do documento e a data do desconto;
i = Taxa de juros (forma decimal).

Teremos:
d_R = A_R.i.t
A_R = N - d_R

Como o que sabemos, inicialmente, é o valor nominal (N) precisamos de uma expressão para calcular o desconto racional em funcão do valor nominal do documento!

Pode-se mostrar (tente) que:

d_R = (N.i.t)/(1 + i.t) => d_R = d/(1 + i.t) (O desconto racional é menor que o desconto comercial!)
Por isso ele não é praticado pelos bancos :-)

Exemplo:

Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$20.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o valor do desconto racional simples. Qual o valor atual, isto é, o valor recebido pela duplicata?
Temos:
N = 20.000
t = 2 meses
i = 0,3 a.a. = 0,025 a.m (0,3/12) - 2,5% a. m.
d_R = ?
A_R = ?

d_R = (20000 x 0,025 x 2) /(1 + 0,025x2)= 952,38
A_R = N - d => 20000 - 952,38 = 19.047,62

Logo o desconto racional será de R$952,38 e o valor recebido por esta duplicata 2 meses antes do vencimento será de 19.047,62. Isto é, o desconto racional é menor (o banco recebe menos) e o valor atual é maior (você recebe mais)!

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