A prova original, assim como seu gabarito, se encontram em:

Vestibular Uerj 2006

Enunciado

43) Um barco percorre seu trajeto de descida de um rio, a favor da correnteza, com a velocidade de 2 m/s em relação à água. Na subida, contra a correnteza, retornando ao ponto de partida, sua velocidade é de 8 m/s, também em relação à água.
Considere que:
- o barco navegue sempre em linha reta e na direção da correnteza;
- a velocidade da correnteza seja sempre constante;
- a soma dos tempos de descida e de subida do barco seja igual a 10 min.
Assim, a maior distância, em metros, que o barco pode percorrer, neste intervalo de tempo, é igual a::

(A) 1250
( 1500
(C) 1750
(D) 2000

Resolução

Na descida as duas velocidades estão no mesmo sentido,logo a velocidade do barco em relação as margens é a soma da velocidade do barco em relação às águas mais a velocidade da água:

Velocidade de descida = C + 2 (onde C é a velocidade da água/correnteza em relação às margens!)

Na subida as duas velocidades tem sentidos opostos, logo a velocidade do barco em relação as margens é a diferença da velocidade do barco em relação às águas mais a velocidade da água:

Velocidade de descida = 8 - C (onde C é a velocidade da água/correnteza em relação às margens!)

Tempo é a razão entre uma distância e uma velocidade (t = d/v), logo o tempo de subida é dado por:

Ts = D/Vs = D/(8 - C) Aqui D é a distância percorrida pelo barco que é pedida no problema!

E na descida teremos:

Td = D/Vd = D/(2 + C) Aqui D é a distância percorrida pelo barco que é pedida no problema!

Como o enunciado diz que a soma do tempo de subida mais o tempo de descida é de 10 min (600 s) teremos:

D/(2 + C) + D/(8 - C) = 600 (temos que usar o tempo em segundos pois as velocidades estão em metros /segundo!

Tirando o mmc e resolvendo para D (faça no seu caderno!) teremos:

D = -60C² + 360C + 960 (1)

Aqui está o pulo do gato!

Como o problema pede o maior D e vemos que D é igual a solução da equação:

-60C² + 360C + 960 temos que achar o máximo desta função do 2 grau.

Como sabemos que o máximo desta parábola é o seu vértice e este tem coordenada x (C) dada por

Xmax = -b/2a Onde b e a são os coeficientes da equação do 2 grau, que por inspeção temos:

b = 360 e a = -60

Logo a função será máxima quando C = - (360)/2.(-60) = 3!

Substituindo C = 3 na equação (1) teremos

D = -60.(3)² + 360.3 + 960 = 1500m!

Resposta (B)

Comentário

Esta é uma questão interdisciplinar que requer conhecimentos básicos de composição de movimentos, cinemática e conhecimento da função do 2 grau, seus pontos de máximo e mínimos. É uma questão difícil.